최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$와 함수 $g(x)=e^{\sin\pi x}-1$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x)=g(f(x))$가 다음 조건을 만족시킨다.
$f(3)=\dfrac12,\space f'(3)=0$일 때, $f(2)=\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)
문제 - 2023학년도 대학수학능력시험 수학영역 30번 (미적분)$h(x)=e^{\sin\pi f(x)}-1$을 $(e^x-1)\circ(\sin\pi x)\circ f(x)$로 보고, $y=\sin\pi x$의 그래프를 보자.
이때 $y=\sin\pi x$의 치역이 $[-1,1]$이므로 해당 구간에서 $y=e^x-1$의 그래프를 그린 후, 이후 조건들을 보자.
(가)조건에서 $h(x)$가 극댓값 $0$을 가지므로 $x=0$에서 $\sin\pi f(x)$의 형태는 증가하며 $0$이 되었다가 다시 감소하는 형태가 된다. 이는 $y=\sin\pi x$에서 $x$가 계속해서 증가하거나 계속해서 감소하는 상황에서는 나오지 않으므로(함숫값이 $0$이며 꺾여야 한다), $f(x)$가 $x=0$에서 극대 또는 극소를 가져서 $\sin\pi f(x)$가 '증가→0→감소'해야한다. 이때 $\sin\pi f(0)=0$이므로 $f(0)$이 정수임을 알 수 있다.
또한 (나)조건에서 $h(x)=1$을 풀어보면 $e^{\sin\pi f(x)}=2$에서 $\sin\pi f(x)=\ln2$인 점들이고, $0< \ln2< 1$이므로 $y=\ln2$와 $y=\sin\pi x$를 함께 그려보면 다음과 같다.
빨간색 화살표는 $x=0$ 부근에서 $f(x)$의 흐름을 나타낸 것이다. $f(x)=t$라 하면 $t$가 움직이며 $y=\sin\pi t$ 위에서 $y=\ln2$인 지점들을 지날 때마다 $h(x)=1$이 근을 갖게 된다. 이때 $f(x)$는 $x=0$에서 극값을 갖는데 $f'(3)=0$이므로 $x=3$에서도 극값을 가지며 최고차항의 계수가 양수이므로 $x=0$에서 극대, $x=3$에서 극소이다. 따라서 $f(0)>f(3)$이므로 구간 $(0,3)$에서 $t$는 $f(0)$에서 $f(3)$까지 감소하며 $y=\ln2$와 7번의 교점을 가져야한다. 여기에 $f(0)$이 정수라는 조건을 추가하면 $f(0)=8$이 된다.
$t$가 $f(0)$에서 출발해서 $f(3)=\dfrac12$까지 감소할 때 $y=\sin t$와 $y=\ln2$의 교점이 7개가 되도록 $f(0)$의 위치를 설정해야 한다.
$t$가 $f(3)=\dfrac12$에서 출발하여 $f(0)$까지 증가한다고 바라본다면 $f(0)$이 최소 $7$이 되어야 $\dfrac12\le t\le7$에서 $y=\sin\pi t$가 $y=\ln2$와 7번 만나게 된다. 하지만 (가)조건을 생각해보면 $\sin\pi f(x)$는 $x=0$에서 '음수→0→음수'(증가→0→감소)의 형태가 되어야 한다. $f(0)=7$이라면 $x=0$ 근처에서 $f(x)$의 값은 $f(0)$보다 커야하므로 $t$가 $7$보다 작은 $\dfrac12$에서 증가만 해서 $7$에 도달하는 건 불가능하다.
이 점을 생각해보면 $f(0)$의 조건은 '증가하다가 정수에서 최대를 찍고 감소하는' 지점이기 때문에 $8$이 됨을 알 수 있다. $8$ 다음으로 해당 조건을 만족하는 정수는 $10$인데, $f(0)=10$이라면 $t$가 증가하며 $\ln2$와 총 $10$번 만나게 되므로 $f(0)$은 $10$이 될 수 없다.
$f(x)$는 $x=0$에서 극소, $x=3$에서 극대를 가지므로 위와 같은 과정을 거치면 $f(0)=-7$임을 알 수 있다.
$f(x)$가 $x=0$, $x=3$에서 극값을 가지므로 $f'(x)=ax(x-3)$으로 설정하고, 극값의 차가 $\dfrac{15}2$이므로 $\dfrac a6(3-0)^3=\dfrac{15}2$에서 $a=\dfrac53$이다.
$$f'(x)=\dfrac53x(x-3)=\dfrac53x^2-5x^2\\\space\\\therefore f(x)=\dfrac59x^3-\dfrac52x^2+8\quad(\because f(0)=8)$$따라서 $f(2)=\dfrac{22}9$이므로 $p+q=31$이다.
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2026.03.01 추가 / 수정 2026.03.03