최고차항의 계수가 $6\pi$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)=\dfrac1{2+\sin(f(x))}$이 $x=\alpha$에서 극대 또는 극소이고, $\alpha\ge0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1,\space\alpha_2,\space\alpha_3,\space\alpha_4,\space\alpha_5,\space\dotsm$라 할 때, $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.
$g'\left(-\dfrac12\right)=a\pi$라 할 때, $a^2$의 값을 구하시오. (단, $0< f(0)<\dfrac\pi2$)
문제 - 2019학년도 대학수학능력시험 수학영역 30번 (가형)$g(x)=\dfrac1{2+\sin(f(x))}$가 극값을 갖는 경우는 $\sin(f(x))$가 극값을 가질 때이다. $f(x)=t$라 하고 $y=\sin t$의 그래프를 살펴보자.
기본적으로 $y=\sin t$는 $t=\dfrac{2n+1}2\pi$에서 극값을 가지며, $t=f(x)$가 이 지점들을 '통과할 때' $g(x)$에서 극값이 생긴다고 볼 수 있다. ($n$은 정수)
(가)조건에서 $g(0)=\dfrac1{2+\sin(f(0))}=\dfrac25$이므로 $\sin(f(0))=\dfrac12$이고, 문제 하단에서 $0< f(0)<\dfrac\pi2$라 주어졌으므로 $f(0)=\dfrac\pi6$이다. 이때 $t=\dfrac\pi6$에서 $g(x)$가 극값을 가지는데, 이 경우는 위에서 살펴봤던 일반적인 경우인 "$t$가 $\dfrac{2n+1}2\pi$를 통과하는 경우"에 해당하지 않는다. 따라서 이 경우에는 $t=f(x)$ 자체가 극값을 가져서, $y=\sin t$가 극값을 가지는 경우라 생각할 수 있다. 이때 $f(x)$가 $x=0$에서 극대인 경우와 극소인 경우로 케이스가 나뉘게 된다.
$f(x)$가 $x=0$에서 극소라면 $f(x)$가 삼차함수이므로 이후의 구간에서 계속 증가하여 개형은 하나로 정해지고, 처음에 본 '특수한 지점'들을 뚫는 교점에서의 $x$값이 차례대로 수열 $\{\alpha_n\}$의 값이 된다. 따라서 $\sin(f(\alpha_2))=1$이고 $\sin(f(\alpha_5))=-1$이다.
$g(x)=\dfrac1{2+\sin(f(x))}$에서 $\dfrac1{g(x)}=\sin(f(x))+2$이므로 (나)조건은 $\sin(f(\alpha_5))=\sin(f(\alpha_2))+\dfrac12$와 같다. 이때 $\sin(f(\alpha_2))=1,\space\sin(f(\alpha_5))=-1$는 해당 식을 만족하지 못하므로 $f(x)$가 $x=0$에서 극소라면 (나)조건에 모순이다.
$f(x)$가 $x=0$에서 극대라면 이후 구간에서 감소하다가 어느 순간에 극소점을 찍고 다시 증가하게 된다. $f(x)$의 극대점이 통과하는 지점 외의 곳에서 $g(x)$의 극값을 만든다는 점에서, $f(x)$의 극소점 또한 통과하는 지점 외의 곳에서 $g(x)$의 극값을 만들 수 있다. 케이스 I에서 살펴본 것에 따르면 $\sin(f(\alpha))$가 모두 $\pm1$이면 (나)조건을 만족시킬 수 없으므로 이 경우에 극솟값은 반드시 $\dfrac{2n+1}2$이 아닌 값을 가져서 (나)조건을 만족시켜야한다. 이때 의미가 있는 값들은 (나)조건에서 사용되는 $\alpha_2$와 $\alpha_5$ 뿐이므로, 각각이 극소인 경우로 케이스를 나눠볼 수 있다.
만약 $f(x)$의 극솟값이 $-\dfrac\pi2$보다 작아진다면 $x$가 $\alpha_2$ 가 되기 이전에 $t=f(x)$와 $t=\dfrac{2n+1}2$의 교점이 생기므로 그 교점이 $\alpha_2$가 된다. 따라서 이 경우 $f(x)$의 극솟값은 $-\dfrac\pi2$보다 크다.
이때 $\sin(f(\alpha_5))=1$이므로 (나)조건 $\sin(f(\alpha_5))=\sin(f(\alpha_2))+\dfrac12$에 따라 $\sin(f(\alpha_2))=\dfrac12$가 되어야한다. 그런데 $-\dfrac\pi2< f(\alpha_2)<\dfrac\pi6$이므로 이 구간에서 $\sin(f(\alpha_2))=\dfrac12$를 만족시키는 $f(\alpha_2)$는 존재하지 않는다($y=\sin t$ 그래프 참고). 따라서 $f(x)$가 $x=\alpha_2$에서 극소이면 (나)조건에 모순이다.
$f(\alpha_2)=\dfrac\pi6$이면 $\alpha_2$에서 극값이 아니게 되므로 $f(\alpha_2)<\dfrac\pi6$이다.
$x=\alpha_5$가 되기 이전까지 $f(x)$는 감소하므로 그 구간에서 $t=\dfrac{2n+1}2$와 3번의 교점을 가져야한다. 따라서 $-3.5\pi< f(\alpha_5)<-2.5\pi$이다.
이때 $\sin(f(\alpha_2))=-1$이므로 (나)조건에 따라 $\sin(f(\alpha_5))=-\dfrac12$이고, 주어진 범위에서 해당 값을 갖는 $f(\alpha_5)$값은 $-3\pi+\dfrac\pi6$이 유일하다($y=\sin t$ 그래프 참고).
$f(\alpha_5)$의 범위 구간이 양 끝을 포함하는지 여부는 그다지 중요하지 않다.
$f(x)=6\pi x^3+\dotsm$에서 $f'(x)=18\pi x^2+\dotsm$이고, $x=0$에서 극대, $x=\alpha_5$에서 극소이므로 $f'(x)=18\pi x(x-\alpha_5)$이다. $f(x)$의 극대와 극소의 차가 $3\pi$이므로 $y=f'(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\dfrac{18\pi}6(\alpha_5-0)^3=3\pi$에서 $\alpha_5=1$이다.
$$f'(x)=18\pi x^2-18\pi x,\quad f(x)=6\pi x^3-9\pi x^2+\frac\pi6\\\space\\g(x)=\frac1{2+\sin(f(x))},\quad g'(x)=-\frac{\cos(f(x))\cdot f'(x)}{(2+\sin(f(x)))^2}\\\space\\\begin{cases}f\left(-\dfrac12\right)=-3\pi+\dfrac\pi6\quad\Rarr\quad\begin{cases}\sin\left(f\left(-\frac12\right)\right)=-\frac12\\\cos\left(f\left(-\frac12\right)\right)=-\frac{\sqrt3}2\end{cases}\\f'\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{27}2\pi\end{cases}\\\space\\\therefore g'\left(-\frac12\right)=-\frac{-\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{27}2\pi}{(2-\frac12)^2}=3\sqrt3\pi$$따라서 $a=3\sqrt3$이므로 답은 $27$.
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2026.03.01 추가 / 수정 2026.03.03